Goniometrické funkce

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a s poloměrem $1$. Úhel $\theta$ zakreslíme ve standardní poloze: jeho počáteční rameno leží na kladné poloose $x$, koncové rameno protne kružnici v bodě $P=(x,y)$. Právě z těchto dvou souřadnic čteme základní funkce:

Tangens tedy nelze určit, jestliže $x=0$, neboli když $\cos\theta=0$. Tento zápis rozšiřuje známé poměry v pravoúhlém trojúhelníku na libovolné úhly. Na kružnici se po celé otočce vrátíme do téhož bodu, proto mají funkce opakující se hodnoty. Výhodou je, že znaménka jsou přímo vidět: vpravo je kosinus kladný, vlevo záporný; nahoře je sinus kladný, dole záporný. Při určování hodnoty proto nejdříve najděte kvadrant a až pak velikost souřadnic.

Graf funkce $y=\sin x$ zapisuje pro každý úhel jeho svislou souřadnici na jednotkové kružnici. Prochází body $(0,0)$, $(\pi/2,1)$, $(\pi,0)$, $(3\pi/2,-1)$ a $(2\pi,0)$. Pak se tentýž průběh opakuje. Graf $y=\cos x$ začíná v bodě $(0,1)$; nuly má například v $\pi/2$ a $3\pi/2$. Je to sinusovka posunutá doleva o $\pi/2$:

Obě funkce nabývají hodnot od $-1$ do $1$ a mají periodu $2\pi$. Perioda je nejmenší kladné číslo $p$, pro které platí $f(x+p)=f(x)$ pro všechna přípustná $x$. Při čtení grafu rozlišujte průsečík s osou $x$, maximum a minimum. Průsečík znamená hodnotu funkce $0$, kdežto vrchol nahoře znamená hodnotu $1$.

Základním vztahem je Pythagorova identita

Je v souladu s rovnicí jednotkové kružnice: její souřadnice splňují $x^2+y^2=1$, přičemž $x=\cos\theta$ a $y=\sin\theta$. Druhý klíčový vztah spojuje tangens se sinem a kosinem:

Platí jen tam, kde $\cos\theta\ne0$. Z něj je patrné, proč se hodnota tangensu může stát nedefinovanou. Třetí skupinou jsou převrácené funkce: $\sec\theta=1/\cos\theta$, $\csc\theta=1/\sin\theta$ a $\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta$. Každý zápis má své omezení: nelze dělit nulou. Identita není rovnice, kterou řešíme pro několik úhlů; je to rovnost platná pro všechny úhly, kde jsou oba její výrazy definovány. To je důvod, proč ji lze použít při úpravách výrazů.

Goniometrická rovnice hledá všechny úhly, pro něž jsou levá a pravá strana stejné. Graficky jde o průsečíky odpovídajících grafů. Protože se sinus a kosinus opakují po $2\pi$, řešení obvykle netvoří jediný úhel, ale celou nekonečnou rodinu. Například $\sin\theta=0$ platí pro

Při řešení se vyplatí postupovat ve třech krocích: upravit rovnici známým vztahem, rozložit výraz na součin, a vyřešit jednotlivé faktory. Součin je nulový, když je nulový alespoň jeden faktor. Důležitá výstraha: nedělte bez rozmyslu výrazem obsahujícím $\sin\theta$ nebo $\cos\theta$. Mohl by být nulový, a tak byste ztratili platné řešení. Jestliže naopak při úpravě násobíte výrazem, který může být nulový, ověřte kandidáty v původní rovnici. U rovnic s tangens navíc od začátku respektujte podmínku $\cos\theta\ne0$.

Obecný tvar posunuté sinusovky je

Číslo $A$ mění svislé roztažení; amplituda je $|A|$. Hodnoty grafu se pohybují mezi $C-|A|$ a $C+|A|$. Číslo $C$ posune celý graf svisle a přímka $y=C$ je jeho střední přímkou. Číslo $\alpha$ způsobí vodorovný neboli fázový posun: zápis $x-\alpha$ znamená posun doprava o $\alpha$. Faktor $B$ mění periodu, která je

Nezaměňujte tedy amplitudu a periodu: amplituda popisuje výšku vlny, perioda její šířku. Pro $A=0$ už nevzniká vlna, ale konstantní funkce $y=C$. U kosinu fungují stejné parametry; liší se pouze výchozí tvar základní křivky.