Goniometrické funkce

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a s poloměrem $1$. Úhel $\theta$ zakreslíme ve standardní poloze: jeho počáteční rameno leží na kladné poloose $x$, koncové rameno protne kružnici v bodě $P=(x,y)$. Právě z těchto dvou souřadnic čteme základní funkce:

Tangens tedy nelze určit, jestliže $x=0$, neboli když $\cos\theta=0$. Tento zápis rozšiřuje známé poměry v pravoúhlém trojúhelníku na libovolné úhly. Na kružnici se po celé otočce vrátíme do téhož bodu, proto mají funkce opakující se hodnoty. Výhodou je, že znaménka jsou přímo vidět: vpravo je kosinus kladný, vlevo záporný; nahoře je sinus kladný, dole záporný. Při určování hodnoty proto nejdříve najděte kvadrant a až pak velikost souřadnic.

Graf funkce $y=\sin x$ zapisuje pro každý úhel jeho svislou souřadnici na jednotkové kružnici. Prochází body $(0,0)$, $(\pi/2,1)$, $(\pi,0)$, $(3\pi/2,-1)$ a $(2\pi,0)$. Pak se tentýž průběh opakuje. Graf $y=\cos x$ začíná v bodě $(0,1)$; nuly má například v $\pi/2$ a $3\pi/2$. Je to sinusovka posunutá doleva o $\pi/2$:

Obě funkce nabývají hodnot od $-1$ do $1$ a mají periodu $2\pi$. Perioda je nejmenší kladné číslo $p$, pro které platí $f(x+p)=f(x)$ pro všechna přípustná $x$. Při čtení grafu rozlišujte průsečík s osou $x$, maximum a minimum. Průsečík znamená hodnotu funkce $0$, kdežto vrchol nahoře znamená hodnotu $1$.

Základním vztahem je Pythagorova identita

Je v souladu s rovnicí jednotkové kružnice: její souřadnice splňují $x^2+y^2=1$, přičemž $x=\cos\theta$ a $y=\sin\theta$. Druhý klíčový vztah spojuje tangens se sinem a kosinem:

Platí jen tam, kde $\cos\theta\ne0$. Z něj je patrné, proč se hodnota tangensu může stát nedefinovanou. Třetí skupinou jsou převrácené funkce: $\sec\theta=1/\cos\theta$, $\csc\theta=1/\sin\theta$ a $\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta$. Každý zápis má své omezení: nelze dělit nulou. Identita není rovnice, kterou řešíme pro několik úhlů; je to rovnost platná pro všechny úhly, kde jsou oba její výrazy definovány. To je důvod, proč ji lze použít při úpravách výrazů.

Goniometrická rovnice hledá všechny úhly, pro něž jsou levá a pravá strana stejné. Graficky jde o průsečíky odpovídajících grafů. Protože se sinus a kosinus opakují po $2\pi$, řešení obvykle netvoří jediný úhel, ale celou nekonečnou rodinu. Například $\sin\theta=0$ platí pro

Při řešení se vyplatí postupovat ve třech krocích: upravit rovnici známým vztahem, rozložit výraz na součin, a vyřešit jednotlivé faktory. Součin je nulový, když je nulový alespoň jeden faktor. Důležitá výstraha: nedělte bez rozmyslu výrazem obsahujícím $\sin\theta$ nebo $\cos\theta$. Mohl by být nulový, a tak byste ztratili platné řešení. Jestliže naopak při úpravě násobíte výrazem, který může být nulový, ověřte kandidáty v původní rovnici. U rovnic s tangens navíc od začátku respektujte podmínku $\cos\theta\ne0$.

Obecný tvar posunuté sinusovky je

Číslo $A$ mění svislé roztažení; amplituda je $|A|$. Hodnoty grafu se pohybují mezi $C-|A|$ a $C+|A|$. Číslo $C$ posune celý graf svisle a přímka $y=C$ je jeho střední přímkou. Číslo $\alpha$ způsobí vodorovný neboli fázový posun: zápis $x-\alpha$ znamená posun doprava o $\alpha$. Faktor $B$ mění periodu, která je

Nezaměňujte tedy amplitudu a periodu: amplituda popisuje výšku vlny, perioda její šířku. Pro $A=0$ už nevzniká vlna, ale konstantní funkce $y=C$. U kosinu fungují stejné parametry; liší se pouze výchozí tvar základní křivky.

Radián je úhlová míra přirozeně spojená s kružnicí. Na jednotkové kružnici je velikost úhlu v radiánech rovna délce příslušného oblouku. Úplná kružnice má obvod $2\pi$, a proto platí $360^\circ=2\pi$ rad a $180^\circ=\pi$ rad. Převod proveďte násobením vhodným zlomkem:

Pro grafy jsou radiány zásadní: perioda sinu $2\pi$ vyjadřuje právě jednu úplnou otočku kolem kružnice. Zapamatujte si orientační body $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$. Odpovídají postupně pravému, hornímu, levému, dolnímu a opět pravému bodu kružnice. Kladný směr je proti směru hodinových ručiček; záporný úhel jde opačně. Úhly $\theta$ a $\theta+2\pi$ ukazují do stejného bodu, a mají proto stejné hodnoty sinu i kosinu.

Pro porovnání se sinem a kosinem sledujte i funkci $y=\tan x$. Platí $\tan x=\sin x/\cos x$, takže její definiční obor vynechává body, kde $\cos x=0$:

V těchto místech má graf svislé asymptoty; graf se k nim přibližuje, ale není v nich zakreslen. Nuly tangensu jsou v $x=n\pi$, protože tam je sinus nulový a kosinus nenulový. Tangens má periodu $\pi$, tedy poloviční oproti sinu a kosinu. Na každém intervalu mezi sousedními asymptotami roste.

Ve společném statickém náčrtu sinu, kosinu a tangensu lze porovnat nuly a asymptoty. Z nul sinu a kosinu plyne chování jejich podílu. Častá chyba je spojit křivku tangensu přes asymptotu: tím by vznikla hodnota funkce tam, kde není definována.

Ukázkové odvození začíná Pythagorovou identitou:

Chceme získat vztah s tangensem. Tam, kde $\cos\theta\ne0$, vydělíme každý člen rovnice $\cos^2\theta$:

Nyní přepišme jednotlivé podíly. První je $\tan^2\theta$, druhý je $1$ a pravá strana je $\sec^2\theta$. Dostáváme

Odvození zároveň vysvětluje podmínku: dělení $\cos^2\theta$ není dovoleno, když $\cos\theta=0$. Při úpravě výrazu vždy napište, kterou identitu používáte, a podmínku neztraťte. Kontrola může být číselná: pro $\theta=0$ je levá strana $1+0$ a pravá $1$. Taková kontrola nenahrazuje důkaz, ale umí rychle odhalit chybný přepis znamének nebo mocnin.

Vyřešme rovnici

Nejprve použijeme vzorec $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$. Po dosazení dostaneme

a tedy $2\cos^2\theta-\cos\theta=0$. Vytkneme $\cos\theta$:

Nastanou dva případy. Z $\cos\theta=0$ plyne $\theta=\pi/2+n\pi$. Z $2\cos\theta-1=0$ plyne $\cos\theta=1/2$, takže $\theta=\pi/3+2n\pi$ nebo $\theta=-\pi/3+2n\pi$, kde $n\in\mathbb Z$.

Rozhodující krok byl vytknout, nikoli dělit rovnost výrazem $\cos\theta$. Kdybychom dělili, případ $\cos\theta=0$ bychom odstranili, přestože poskytuje řešení. Nakonec lze každou rodinu ověřit dosazením do původní rovnice; to je spolehlivější než ověřovat jen upravený mezikrok.

U funkce

čteme parametry postupně. Amplituda je $3$, střední přímka $y=1$ a perioda $T=2\pi/2=\pi$. Posun doprava je $\pi/4$. Jeden cyklus proto rozdělíme na čtyři stejné části po $T/4=\pi/4$. Začněte v bodě střední přímky při $x=\pi/4$: hodnota je $1$. Po čtvrtině periody následuje maximum $4$, po další čtvrtině opět střední hodnota $1$, pak minimum $-2$ a po celé periodě návrat k $1$.

Tento „pětibodový“ postup je vhodnější než hádat tvar křivky. Nejdřív zakreslete přímku $y=C$, pak mezní hodnoty $C-|A|$ a $C+|A|$, nakonec vodorovné rozestupy. Záporné $A$ by obrátilo vlnu přes střední přímku, ale amplituda zůstává $|A|$, tedy kladná vzdálenost od středu k extrému.

V prvním kvadrantu stačí znát několik dvojic $(\cos\theta,\sin\theta)$:

V ostatních kvadrantech zachovejte velikost souřadnic a změňte znaménko podle polohy bodu. Například úhel $2\pi/3$ leží vlevo nahoře, proto má bod souřadnice $(-1/2,\sqrt3/2)$ a $\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2$. Úhel $-5\pi/6$ leží vlevo dole, takže $\cos(-5\pi/6)=-\sqrt3/2$.

U velkého úhlu nejprve odečtěte celé otočky. $15\pi/4=2\pi+7\pi/4$, tedy má stejný bod jako $7\pi/4$. Odtud $\tan(15\pi/4)=-1$. Kontrola znamének je důležitá: samotná tabulková hodnota určí velikost, ale kvadrant určí, zda je kladná nebo záporná.

Sinus a kosinus nejsou dvě nesouvisející vlny. Platí

Kosinus lze proto číst jako sinus posunutý doleva o $\pi/2$. Například maximum sinu je v $x=\pi/2$, kdežto maximum kosinu je už v $x=0$. Tento posun vysvětluje rozdíl mezi jejich počátečními hodnotami: $\sin0=0$, ale $\cos0=1$.

Při náčrtu si vyberte funkci, od níž se vám začíná pohodlněji. Má-li graf procházet střední přímkou a zpočátku stoupat, často vyhovuje sinus. Má-li začínat v maximu, často je přehlednější kosinus. Oba popisy mohou popsat stejnou křivku, jen s jiným fázovým posunem. Při porovnávání grafů si nejdřív ověřte amplitudu, střední přímku a periodu; až potom rozhodujte o posunu. Jinak lze zaměnit změnu šířky vlny za její pouhé vodorovné posunutí.

Pro rozklad složeného úhlu slouží vzorce

Z nich vycházejí užitečné vzorce pro dvojnásobný úhel:

Různé tvary kosinu dvojnásobného úhlu jsou rovnocenné. Vyberte ten, který obsahuje proměnnou právě v podobě, kterou potřebujete. Máte-li výraz se $\cos\theta$, bývá praktický tvar $2\cos^2\theta-1$; při práci se sinem často $1-2\sin^2\theta$.

Pozor na znaménko u kosinu součtu a rozdílu: zápis $\mp$ znamená opačnou volbu než v argumentu. Vzorec není vhodné používat jen zpaměti bez kontroly. Po dosazení jednoduchých hodnot, například $\beta=0$, se musí rovnice zjednodušit na původní $\sin\alpha$ nebo $\cos\alpha$.

Uvažujme rovnici

Protože $\tan\theta$ je definován jen pro $\cos\theta\ne0$, tuto podmínku si ponecháme až do kontroly. Dosadíme $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ a $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$:

Vynásobení $\cos\theta$ vede na $2\sin\theta\cos^2\theta-\sin\theta=0$. Vytkneme sinus:

Z prvního faktoru plyne $\theta=n\pi$. Druhý dává $\cos^2\theta=1/2$, tedy $\theta=\pi/4+n\pi/2$, kde $n\in\mathbb Z$. Kandidáty nakonec porovnáme s podmínkou $\cos\theta\ne0$; uvedené rodiny ji splňují.

Tento příklad ukazuje dva různé omyly: dělením $\sin\theta$ by se ztratila rodina $n\pi$, zatímco násobení výrazem, jenž může být nulový, může obecně přidat řešení navíc. Proto se vždy vracejte k původní rovnici.

Má-li sinusový model maximum $15{,}7$ a minimum $8{,}3$, střední hodnota je průměr:

Amplituda je vzdálenost maxima od středu:

Jestliže se děj opakuje po $365$ jednotkách, z rovnosti $T=2\pi/|B|$ dostaneme $|B|=2\pi/365$. Zdroj uvádí model délky denního světla ve tvaru

Každá část má čitelný význam: $12$ je střed, $3{,}7$ vzdálenost k extrémům, koeficient u $t$ nastavuje roční periodu a posun uvnitř závorky určuje umístění vlny na časové ose.

Při sestavování vlastního modelu nehádejte všechny parametry najednou. Nejprve určete střed a amplitudu z minima a maxima, pak periodu z opakování a nakonec fázi podle známého bodu grafu.