Goniometrické funkce

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a s poloměrem $1$. Úhel $\theta$ zakreslíme ve standardní poloze: jeho počáteční rameno leží na kladné poloose $x$, koncové rameno protne kružnici v bodě $P=(x,y)$. Právě z těchto dvou souřadnic čteme základní funkce:

Tangens tedy nelze určit, jestliže $x=0$, neboli když $\cos\theta=0$. Tento zápis rozšiřuje známé poměry v pravoúhlém trojúhelníku na libovolné úhly. Na kružnici se po celé otočce vrátíme do téhož bodu, proto mají funkce opakující se hodnoty. Výhodou je, že znaménka jsou přímo vidět: vpravo je kosinus kladný, vlevo záporný; nahoře je sinus kladný, dole záporný. Při určování hodnoty proto nejdříve najděte kvadrant a až pak velikost souřadnic.

Graf funkce $y=\sin x$ zapisuje pro každý úhel jeho svislou souřadnici na jednotkové kružnici. Prochází body $(0,0)$, $(\pi/2,1)$, $(\pi,0)$, $(3\pi/2,-1)$ a $(2\pi,0)$. Pak se tentýž průběh opakuje. Graf $y=\cos x$ začíná v bodě $(0,1)$; nuly má například v $\pi/2$ a $3\pi/2$. Je to sinusovka posunutá doleva o $\pi/2$:

Obě funkce nabývají hodnot od $-1$ do $1$ a mají periodu $2\pi$. Perioda je nejmenší kladné číslo $p$, pro které platí $f(x+p)=f(x)$ pro všechna přípustná $x$. Při čtení grafu rozlišujte průsečík s osou $x$, maximum a minimum. Průsečík znamená hodnotu funkce $0$, kdežto vrchol nahoře znamená hodnotu $1$.

Základním vztahem je Pythagorova identita

Je v souladu s rovnicí jednotkové kružnice: její souřadnice splňují $x^2+y^2=1$, přičemž $x=\cos\theta$ a $y=\sin\theta$. Druhý klíčový vztah spojuje tangens se sinem a kosinem:

Platí jen tam, kde $\cos\theta\ne0$. Z něj je patrné, proč se hodnota tangensu může stát nedefinovanou. Třetí skupinou jsou převrácené funkce: $\sec\theta=1/\cos\theta$, $\csc\theta=1/\sin\theta$ a $\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta$. Každý zápis má své omezení: nelze dělit nulou. Identita není rovnice, kterou řešíme pro několik úhlů; je to rovnost platná pro všechny úhly, kde jsou oba její výrazy definovány. To je důvod, proč ji lze použít při úpravách výrazů.

Goniometrická rovnice hledá všechny úhly, pro něž jsou levá a pravá strana stejné. Graficky jde o průsečíky odpovídajících grafů. Protože se sinus a kosinus opakují po $2\pi$, řešení obvykle netvoří jediný úhel, ale celou nekonečnou rodinu. Například $\sin\theta=0$ platí pro

Při řešení se vyplatí postupovat ve třech krocích: upravit rovnici známým vztahem, rozložit výraz na součin, a vyřešit jednotlivé faktory. Součin je nulový, když je nulový alespoň jeden faktor. Důležitá výstraha: nedělte bez rozmyslu výrazem obsahujícím $\sin\theta$ nebo $\cos\theta$. Mohl by být nulový, a tak byste ztratili platné řešení. Jestliže naopak při úpravě násobíte výrazem, který může být nulový, ověřte kandidáty v původní rovnici. U rovnic s tangens navíc od začátku respektujte podmínku $\cos\theta\ne0$.

Obecný tvar posunuté sinusovky je

Číslo $A$ mění svislé roztažení; amplituda je $|A|$. Hodnoty grafu se pohybují mezi $C-|A|$ a $C+|A|$. Číslo $C$ posune celý graf svisle a přímka $y=C$ je jeho střední přímkou. Číslo $\alpha$ způsobí vodorovný neboli fázový posun: zápis $x-\alpha$ znamená posun doprava o $\alpha$. Faktor $B$ mění periodu, která je

Nezaměňujte tedy amplitudu a periodu: amplituda popisuje výšku vlny, perioda její šířku. Pro $A=0$ už nevzniká vlna, ale konstantní funkce $y=C$. U kosinu fungují stejné parametry; liší se pouze výchozí tvar základní křivky.

Radián je úhlová míra přirozeně spojená s kružnicí. Na jednotkové kružnici je velikost úhlu v radiánech rovna délce příslušného oblouku. Úplná kružnice má obvod $2\pi$, a proto platí $360^\circ=2\pi$ rad a $180^\circ=\pi$ rad. Převod proveďte násobením vhodným zlomkem:

Pro grafy jsou radiány zásadní: perioda sinu $2\pi$ vyjadřuje právě jednu úplnou otočku kolem kružnice. Zapamatujte si orientační body $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$. Odpovídají postupně pravému, hornímu, levému, dolnímu a opět pravému bodu kružnice. Kladný směr je proti směru hodinových ručiček; záporný úhel jde opačně. Úhly $\theta$ a $\theta+2\pi$ ukazují do stejného bodu, a mají proto stejné hodnoty sinu i kosinu.

Pro porovnání se sinem a kosinem sledujte i funkci $y=\tan x$. Platí $\tan x=\sin x/\cos x$, takže její definiční obor vynechává body, kde $\cos x=0$:

V těchto místech má graf svislé asymptoty; graf se k nim přibližuje, ale není v nich zakreslen. Nuly tangensu jsou v $x=n\pi$, protože tam je sinus nulový a kosinus nenulový. Tangens má periodu $\pi$, tedy poloviční oproti sinu a kosinu. Na každém intervalu mezi sousedními asymptotami roste.

Ve společném statickém náčrtu sinu, kosinu a tangensu lze porovnat nuly a asymptoty. Z nul sinu a kosinu plyne chování jejich podílu. Častá chyba je spojit křivku tangensu přes asymptotu: tím by vznikla hodnota funkce tam, kde není definována.

Ukázkové odvození začíná Pythagorovou identitou:

Chceme získat vztah s tangensem. Tam, kde $\cos\theta\ne0$, vydělíme každý člen rovnice $\cos^2\theta$:

Nyní přepišme jednotlivé podíly. První je $\tan^2\theta$, druhý je $1$ a pravá strana je $\sec^2\theta$. Dostáváme

Odvození zároveň vysvětluje podmínku: dělení $\cos^2\theta$ není dovoleno, když $\cos\theta=0$. Při úpravě výrazu vždy napište, kterou identitu používáte, a podmínku neztraťte. Kontrola může být číselná: pro $\theta=0$ je levá strana $1+0$ a pravá $1$. Taková kontrola nenahrazuje důkaz, ale umí rychle odhalit chybný přepis znamének nebo mocnin.

Vyřešme rovnici

Nejprve použijeme vzorec $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$. Po dosazení dostaneme

a tedy $2\cos^2\theta-\cos\theta=0$. Vytkneme $\cos\theta$:

Nastanou dva případy. Z $\cos\theta=0$ plyne $\theta=\pi/2+n\pi$. Z $2\cos\theta-1=0$ plyne $\cos\theta=1/2$, takže $\theta=\pi/3+2n\pi$ nebo $\theta=-\pi/3+2n\pi$, kde $n\in\mathbb Z$.

Rozhodující krok byl vytknout, nikoli dělit rovnost výrazem $\cos\theta$. Kdybychom dělili, případ $\cos\theta=0$ bychom odstranili, přestože poskytuje řešení. Nakonec lze každou rodinu ověřit dosazením do původní rovnice; to je spolehlivější než ověřovat jen upravený mezikrok.

U funkce

čteme parametry postupně. Amplituda je $3$, střední přímka $y=1$ a perioda $T=2\pi/2=\pi$. Posun doprava je $\pi/4$. Jeden cyklus proto rozdělíme na čtyři stejné části po $T/4=\pi/4$. Začněte v bodě střední přímky při $x=\pi/4$: hodnota je $1$. Po čtvrtině periody následuje maximum $4$, po další čtvrtině opět střední hodnota $1$, pak minimum $-2$ a po celé periodě návrat k $1$.

Tento „pětibodový“ postup je vhodnější než hádat tvar křivky. Nejdřív zakreslete přímku $y=C$, pak mezní hodnoty $C-|A|$ a $C+|A|$, nakonec vodorovné rozestupy. Záporné $A$ by obrátilo vlnu přes střední přímku, ale amplituda zůstává $|A|$, tedy kladná vzdálenost od středu k extrému.

V prvním kvadrantu stačí znát několik dvojic $(\cos\theta,\sin\theta)$:

V ostatních kvadrantech zachovejte velikost souřadnic a změňte znaménko podle polohy bodu. Například úhel $2\pi/3$ leží vlevo nahoře, proto má bod souřadnice $(-1/2,\sqrt3/2)$ a $\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2$. Úhel $-5\pi/6$ leží vlevo dole, takže $\cos(-5\pi/6)=-\sqrt3/2$.

U velkého úhlu nejprve odečtěte celé otočky. $15\pi/4=2\pi+7\pi/4$, tedy má stejný bod jako $7\pi/4$. Odtud $\tan(15\pi/4)=-1$. Kontrola znamének je důležitá: samotná tabulková hodnota určí velikost, ale kvadrant určí, zda je kladná nebo záporná.

Sinus a kosinus nejsou dvě nesouvisející vlny. Platí

Kosinus lze proto číst jako sinus posunutý doleva o $\pi/2$. Například maximum sinu je v $x=\pi/2$, kdežto maximum kosinu je už v $x=0$. Tento posun vysvětluje rozdíl mezi jejich počátečními hodnotami: $\sin0=0$, ale $\cos0=1$.

Při náčrtu si vyberte funkci, od níž se vám začíná pohodlněji. Má-li graf procházet střední přímkou a zpočátku stoupat, často vyhovuje sinus. Má-li začínat v maximu, často je přehlednější kosinus. Oba popisy mohou popsat stejnou křivku, jen s jiným fázovým posunem. Při porovnávání grafů si nejdřív ověřte amplitudu, střední přímku a periodu; až potom rozhodujte o posunu. Jinak lze zaměnit změnu šířky vlny za její pouhé vodorovné posunutí.

Pro rozklad složeného úhlu slouží vzorce

Z nich vycházejí užitečné vzorce pro dvojnásobný úhel:

Různé tvary kosinu dvojnásobného úhlu jsou rovnocenné. Vyberte ten, který obsahuje proměnnou právě v podobě, kterou potřebujete. Máte-li výraz se $\cos\theta$, bývá praktický tvar $2\cos^2\theta-1$; při práci se sinem často $1-2\sin^2\theta$.

Pozor na znaménko u kosinu součtu a rozdílu: zápis $\mp$ znamená opačnou volbu než v argumentu. Vzorec není vhodné používat jen zpaměti bez kontroly. Po dosazení jednoduchých hodnot, například $\beta=0$, se musí rovnice zjednodušit na původní $\sin\alpha$ nebo $\cos\alpha$.

Uvažujme rovnici

Protože $\tan\theta$ je definován jen pro $\cos\theta\ne0$, tuto podmínku si ponecháme až do kontroly. Dosadíme $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ a $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$:

Vynásobení $\cos\theta$ vede na $2\sin\theta\cos^2\theta-\sin\theta=0$. Vytkneme sinus:

Z prvního faktoru plyne $\theta=n\pi$. Druhý dává $\cos^2\theta=1/2$, tedy $\theta=\pi/4+n\pi/2$, kde $n\in\mathbb Z$. Kandidáty nakonec porovnáme s podmínkou $\cos\theta\ne0$; uvedené rodiny ji splňují.

Tento příklad ukazuje dva různé omyly: dělením $\sin\theta$ by se ztratila rodina $n\pi$, zatímco násobení výrazem, jenž může být nulový, může obecně přidat řešení navíc. Proto se vždy vracejte k původní rovnici.

Má-li sinusový model maximum $15{,}7$ a minimum $8{,}3$, střední hodnota je průměr:

Amplituda je vzdálenost maxima od středu:

Jestliže se děj opakuje po $365$ jednotkách, z rovnosti $T=2\pi/|B|$ dostaneme $|B|=2\pi/365$. Zdroj uvádí model délky denního světla ve tvaru

Každá část má čitelný význam: $12$ je střed, $3{,}7$ vzdálenost k extrémům, koeficient u $t$ nastavuje roční periodu a posun uvnitř závorky určuje umístění vlny na časové ose.

Při sestavování vlastního modelu nehádejte všechny parametry najednou. Nejprve určete střed a amplitudu z minima a maxima, pak periodu z opakování a nakonec fázi podle známého bodu grafu.

V pravoúhlém trojúhelníku pro ostrý úhel $\theta$ platí

Tyto poměry nejsou v rozporu s jednotkovou kružnicí: na ní je přepona, tedy poloměr, rovna $1$. Poměr k přeponě proto přímo dává souřadnici. Na kružnici o poloměru $r$ jsou souřadnice bodu pro úhel $\theta$

Při slovní úloze vždy nejdříve určete, která strana je vzhledem k vybranému úhlu protilehlá a která přilehlá. Názvy nejsou pevně spojeny s konkrétní stranou obrázku; mění se s tím, který úhel právě sledujete. Přepona je jediná strana naproti pravému úhlu a zůstává stejná.

Před kreslením sinu nebo kosinu si vyznačte jednu periodu a její čtyři čtvrtiny. U $y=\sin x$ v intervalu $[0,2\pi]$ dostanete posloupnost hodnot $0,1,0,-1,0$. U $y=\cos x$ dostanete $1,0,-1,0,1$. Mezi body vede hladká křivka; není to lomená čára.

Kontrolní otázky pro hotový náčrt jsou: Je nejvyšší hodnota $1$ a nejnižší $-1$? Opakuje se stejný tvar po $2\pi$? Jsou nuly na správných místech? Začíná kosinus v $1$? Pokud ne, možná jste omylem nakreslili posunutý graf nebo zaměnili osu v radiánech se stupni.

U tangensu jsou kontrolními body nuly $n\pi$ a asymptoty $\pi/2+n\pi$. Zde nelze spojovat sousední větve přes asymptotu. Nuly sinu a kosinu přímo předpovídají nuly a nedefinované body jejich podílu.

Při úpravě goniometrického výrazu si stanovte cíl: chcete vše vyjádřit pomocí sinu, pomocí kosinu, nebo vytvořit součin pro řešení rovnice? Potom vybírejte identitu účelně. Například $\tan\theta$ lze nahradit $\sin\theta/\cos\theta$, ale zároveň tím vzniká podmínka $\cos\theta\ne0$. Pythagorova identita dovoluje nahradit $\sin^2\theta$ výrazem $1-\cos^2\theta$, případně obráceně.

Bezpečný zápis rozlišuje ekvivalentní kroky od kroků s podmínkou. Dělení výrazem, který může být nulový, není automaticky ekvivalentní. V rovnici proto raději převeďte vše na jednu stranu a vytkněte společný faktor. Naopak při dělení identit, například při odvození $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$, je nutné výslovně uvést, že pracujete jen tam, kde je jmenovatel nenulový.

Závěrečná kontrola má dvě části: ověřte řešení v původním zadání a ověřte definiční obor každého původního výrazu. Tím zachytíte jak ztracené, tak cizí kořeny.

Pro základní goniometrickou rovnici použijte tento pracovní algoritmus. (1) Zapište definiční podmínky, pokud se vyskytuje zlomek, tangens nebo převrácená funkce. (2) Pomocí identit přepište rovnici do tvaru s jednou zvolenou funkcí nebo do součinu. (3) Nezkracujte výraz, který se může rovnat nule; místo toho vytýkejte. (4) Vyřešte každý faktor. (5) Zapište úplné rodiny řešení pomocí $n\in\mathbb Z$. (6) Dosazením ověřte původní rovnici.

Například z $\cos^2\theta=1/2$ neplyne jen jeden úhel. Nejprve $\cos\theta=\pm\sqrt2/2$, a v jedné otočce tak najdeme čtyři body. Kompaktní zápis může být $\theta=\pi/4+n\pi/2$. Naproti tomu $\cos\theta=1/2$ dává v jedné otočce dva body, tedy $\theta=\pm\pi/3+2n\pi$.

Ve výrazu $A\sin(B(x-\alpha))+C$ jsou dvě časté záměny. Za prvé, perioda není $2\pi|B|$, ale

Větší $|B|$ tedy dělá vlnu vodorovně užší a periodu kratší. Za druhé, zápis $x-\alpha$ posouvá graf doprava o $\alpha$, přestože je před číslem minus. Důvod je jednoduchý: nuly základního sinu nastanou až tehdy, když $x-\alpha=0$, tedy při $x=\alpha$.

Záporné $A$ neznamená zápornou amplitudu. Amplituda je $|A|$, zatímco znaménko $A$ převrátí graf podle střední přímky $y=C$. Parametr $C$ nemění výšku vlny ani její šířku; jen posune všechny hodnoty o stejnou částku. Vždy proto nejprve napište čtyři údaje $|A|$, $T$, $\alpha$, $C$, a teprve potom kreslete.

Myšlenkovou mapu lze zapsat jako řetězec rozhodnutí:

Úhel: úplná otočka je $2\pi$, proto lze přičítat nebo odečítat násobky $2\pi$. Kvadrant: určuje znaménka souřadnic. Bod na jednotkové kružnici: jeho první souřadnice je kosinus a druhá sinus. Tangens: je jejich podíl, jen když $x\ne0$. Graf: jak se úhel mění, souřadnice vytvářejí periodické křivky.

Při řešení úlohy se po mapě můžete pohybovat oběma směry. Z daného úhlu určíte bod a hodnotu funkce. Ze známé hodnoty a požadovaného intervalu hledáte odpovídající body kružnice. Z grafu odečtete hodnotu a ověříte ji kružnicí. Tato mapa připomíná hlavní kontrolu: sinus souvisí s osou $y$ a kosinus s osou $x$.

1. Jaké souřadnici na jednotkové kružnici odpovídá $\sin\theta$? Souřadnici $y$.

1. Jaká je perioda $\cos x$? $2\pi$.

1. Proč není $\tan x$ definován v $x=\pi/2$? Protože $\cos(\pi/2)=0$ a tangens je podíl sinu a kosinu.

1. Doplňte: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=$ $1$.

1. Jaký krok je bezpečnější u rovnice $\cos\theta(2\cos\theta-1)=0$: dělit $\cos\theta$, nebo řešit oba faktory? Řešit oba faktory; dělení by ztratilo případ $\cos\theta=0$.

1. Jaká je perioda $3\sin(4x)-5$? $\pi/2$, protože $2\pi/4=\pi/2$.

Kvíz nehodnoťte jen podle výsledku. U každé odpovědi si ukažte zdroj myšlenky: kružnici, graf, identitu nebo vzorec pro transformaci. Pokud chybujete v periodě, napište vždy vztah $T=2\pi/|B|$, místo abyste odpověď odhadovali.

Pro funkci $g(x)=3\sin(4x)-5$ proveďte úplnou kontrolu. Amplituda je $3$, střední přímka $y=-5$ a perioda

Největší hodnota je $-5+3=-2$, nejmenší $-5-3=-8$. Graf tedy neleží poblíž osy $x$, ale celý je posunut dolů. Faktor $4$ znamená vodorovné stlačení oproti $y=\sin x$: během délky $2\pi$ se uskuteční čtyři celé cykly.

Jako kontrolní bod dosadíme $x=0$: $g(0)=-5$, takže graf začíná na střední přímce. Protože je koeficient sinu kladný, bezprostředně napravo od nuly směřuje křivka vzhůru. Za čtvrtinu periody, tedy při $x=\pi/8$, dosáhne maxima $-2$. Tento postup kombinuje výpočet parametrů s body grafu a je použitelný pro každý tvar $A\sin(B(x-\alpha))+C$.