Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice v jedné neznámé má obecný tvar

kde $a,b,c$ jsou reálná čísla a zároveň $a\ne0$. Podmínka $a\ne0$ je důležitá: kdyby $a=0$, člen $x^2$ by zmizel a nešlo by o kvadratickou rovnici. Koeficient $b$ nebo absolutní člen $c$ naopak mohou být nulové, například $5x^2+7=0$ stále patří mezi kvadratické rovnice.

Rovnici lze chápat jako hledání nulových bodů funkce $f(x)=ax^2+bx+c$. Její graf je parabola. Kořeny rovnice jsou právě $x$-ové souřadnice průsečíků této paraboly s osou $x$. Proto algebraické řešení a grafické řešení popisují tutéž otázku: pro která $x$ platí $f(x)=0$?

Než začnete počítat kořeny, můžete určit jejich počet pomocí diskriminantu:

Použít jej lze až tehdy, když je rovnice upravena do tvaru $ax^2+bx+c=0$. Potom platí jednoduchý test: je-li $D>0$, existují dva různé reálné kořeny; je-li $D=0$, existuje právě jeden reálný kořen, označovaný také jako dvojnásobný; je-li $D<0$, rovnice nemá reálné řešení.

Při dosazování zvlášť hlídejte znaménka. Například pro $b=-7$ je $b^2=(-7)^2=49$, nikoli $-49$. Diskriminant neříká pouze počet kořenů: při celočíselných koeficientech kladný diskriminant, který je dokonalým čtvercem, vede k racionálním kořenům.

Pro rovnici $ax^2+bx+c=0$, kde $a\ne0$, dává kvadratický vzorec řešení

Znaménko $\pm$ znamená, že je nutné provést dva výpočty: jednou se znaménkem plus a podruhé se znaménkem minus. Číslo pod odmocninou je přesně diskriminant $D$. Proto vzorec zároveň vysvětluje test diskriminantu: z kladného $D$ lze v reálných číslech odmocnit nenulové číslo, z nuly vyjde jediná hodnota a záporné číslo pod odmocninou nemá reálnou odmocninu.

Před dosazením vždy nejdříve vypište $a$, $b$, $c$. U záporného koeficientu používejte závorky, například $(-2)^2$ a $4(1)(-2)$. Zabráníte tak ztrátě znaménka.

Vyřešme rovnici

Nejprve převeďte všechny členy na jednu stranu:

Odtud $a=1$, $b=6$, $c=-27$. Dosadíme do vzorce:

Nyní opravdu rozdělte znak $\pm$ na dvě možnosti:

Kontrola dosazením je rychlá: pro $x=3$ je levá strana $3^2=9$ a pravá $27-6\cdot3=9$. Pro $x=-9$ vyjdou na obou stranách hodnoty $81$. Obě čísla jsou tedy kořeny.

U nelineární rovnice s $x^2$ je užitečným prvním krokem převést všechny členy na jednu stranu a druhou stranu nechat rovnu nule. Teprve pak lze spolehlivě určit koeficienty $a,b,c$, použít diskriminant nebo kvadratický vzorec. Například z

dostaneme

Koeficienty jsou $a=1$, $b=-2$, $c=-2$. Nezaměňujte tento postup s lineární rovnicí: u lineární rovnice se běžně shromažďují členy s neznámou na jedné straně, kdežto u kvadratické rovnice míříme k nulové pravé straně.

Pokud po úpravě rozpoznáte snadný součin, lze rovnici řešit rozkladem. Není-li rozklad na celočíselné činitele dostupný, kvadratický vzorec poskytuje obecný postup.