Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice v jedné neznámé má obecný tvar

kde $a,b,c$ jsou reálná čísla a zároveň $a\ne0$. Podmínka $a\ne0$ je důležitá: kdyby $a=0$, člen $x^2$ by zmizel a nešlo by o kvadratickou rovnici. Koeficient $b$ nebo absolutní člen $c$ naopak mohou být nulové, například $5x^2+7=0$ stále patří mezi kvadratické rovnice.

Rovnici lze chápat jako hledání nulových bodů funkce $f(x)=ax^2+bx+c$. Její graf je parabola. Kořeny rovnice jsou právě $x$-ové souřadnice průsečíků této paraboly s osou $x$. Proto algebraické řešení a grafické řešení popisují tutéž otázku: pro která $x$ platí $f(x)=0$?

Než začnete počítat kořeny, můžete určit jejich počet pomocí diskriminantu:

Použít jej lze až tehdy, když je rovnice upravena do tvaru $ax^2+bx+c=0$. Potom platí jednoduchý test: je-li $D>0$, existují dva různé reálné kořeny; je-li $D=0$, existuje právě jeden reálný kořen, označovaný také jako dvojnásobný; je-li $D<0$, rovnice nemá reálné řešení.

Při dosazování zvlášť hlídejte znaménka. Například pro $b=-7$ je $b^2=(-7)^2=49$, nikoli $-49$. Diskriminant neříká pouze počet kořenů: při celočíselných koeficientech kladný diskriminant, který je dokonalým čtvercem, vede k racionálním kořenům.

Pro rovnici $ax^2+bx+c=0$, kde $a\ne0$, dává kvadratický vzorec řešení

Znaménko $\pm$ znamená, že je nutné provést dva výpočty: jednou se znaménkem plus a podruhé se znaménkem minus. Číslo pod odmocninou je přesně diskriminant $D$. Proto vzorec zároveň vysvětluje test diskriminantu: z kladného $D$ lze v reálných číslech odmocnit nenulové číslo, z nuly vyjde jediná hodnota a záporné číslo pod odmocninou nemá reálnou odmocninu.

Před dosazením vždy nejdříve vypište $a$, $b$, $c$. U záporného koeficientu používejte závorky, například $(-2)^2$ a $4(1)(-2)$. Zabráníte tak ztrátě znaménka.

Vyřešme rovnici

Nejprve převeďte všechny členy na jednu stranu:

Odtud $a=1$, $b=6$, $c=-27$. Dosadíme do vzorce:

Nyní opravdu rozdělte znak $\pm$ na dvě možnosti:

Kontrola dosazením je rychlá: pro $x=3$ je levá strana $3^2=9$ a pravá $27-6\cdot3=9$. Pro $x=-9$ vyjdou na obou stranách hodnoty $81$. Obě čísla jsou tedy kořeny.

U nelineární rovnice s $x^2$ je užitečným prvním krokem převést všechny členy na jednu stranu a druhou stranu nechat rovnu nule. Teprve pak lze spolehlivě určit koeficienty $a,b,c$, použít diskriminant nebo kvadratický vzorec. Například z

dostaneme

Koeficienty jsou $a=1$, $b=-2$, $c=-2$. Nezaměňujte tento postup s lineární rovnicí: u lineární rovnice se běžně shromažďují členy s neznámou na jedné straně, kdežto u kvadratické rovnice míříme k nulové pravé straně.

Pokud po úpravě rozpoznáte snadný součin, lze rovnici řešit rozkladem. Není-li rozklad na celočíselné činitele dostupný, kvadratický vzorec poskytuje obecný postup.

Funkce $f(x)=ax^2+bx+c$ má graf ve tvaru paraboly. Znaménko koeficientu $a$ určuje její otevření. Je-li $a>0$, parabola je otevřená vzhůru a má nejnižší hodnotu ve vrcholu. Je-li $a<0$, je otevřená dolů a ve vrcholu má nejvyšší hodnotu. Čím více se $|a|$ blíží nule, tím je parabola širší; při větší absolutní hodnotě $a$ je užší.

Pro grafickou kontrolu si představte interaktivní graf funkce $f(x)=x^2-4x+3$. Zvolte $x=0$: vyjde $f(0)=3$, tedy bod $(0,3)$. Průsečíky s osou $x$ získáte nastavením $y=0$, tedy řešením $x^2-4x+3=0$. Rozklad $(x-1)(x-3)=0$ ukáže body $(1,0)$ a $(3,0)$. Graf tak přímo ověří oba kořeny.

Znaménko diskriminantu se projeví přímo v grafu paraboly. U rovnice $x^2-4x-4=0$ je

Parabola protne osu $x$ ve dvou bodech, takže existují dva reálné kořeny. U $x^2-4x+4=0$ vyjde $D=0$. Funkci lze zapsat jako $(x-2)^2$; parabola se osy $x$ dotkne v bodě $(2,0)$, ale neprotne ji. Kořen $2$ je dvojnásobný.

U $x^2-4x+8=0$ je $D=-16<0$. Vrcholový tvar $(x-2)^2+4$ ukazuje, že parabola otevřená vzhůru leží nad osou $x$, takže reálný průsečík neexistuje. V grafu tedy kontrolujte: dvě protnutí, jeden dotyk, nebo žádný kontakt s osou.

Vzorec nevzniká nazpaměť, ale úpravou na úplný čtverec. Začněte obecnou rovnicí a postupujte po krocích:

Na levé straně vznikne úplný čtverec a po úpravě pravé strany dostaneme

Odmocněním a odečtením $\frac b{2a}$ získáme

Odvození také ukazuje, proč nelze vynechat podmínku $a\ne0$: v průběhu dělíme číslem $a$.

Řešme rovnici $f(x)=2$, kde $f(x)=x^2-2x$. Dosazením funkčního předpisu dostaneme $x^2-2x=2$, tedy po převedení

Koeficienty jsou $a=1$, $b=-2$, $c=-2$. Ve vzorci pište záporné $b$ v závorce:

Protože $12$ není dokonalý čtverec, přesný výsledek je vhodné ponechat v tomto tvaru. Přibližně vycházejí kořeny $-0{,}732$ a $2{,}732$.

Grafická kontrola: funkce $g(x)=x^2-2x-2$ má tvar $(x-1)^2-3$. Její průsečíky s osou $x$ proto leží přibližně u $-0{,}73$ a $2{,}73$, stejně jako vypočtené kořeny.

Metodu volte podle tvaru rovnice. Je-li snadné vytvořit součin, je rozklad rychlý. Například

a z vlastnosti nulového součinu plyne $x=3$ nebo $x=-9$. Stejné kořeny dá kvadratický vzorec.

Pokud je rovnice už ve tvaru čtverce, například $(x+2)^2=43$, odmocněte obě možnosti:

Je-li pravá strana záporná, například $(x-4)^2=-15$, nemá rovnice v reálných číslech řešení: druhá mocnina reálného čísla nemůže být záporná.

Kvadratický vzorec je nejuniverzálnější volba po převedení na obecný tvar. Diskriminant předem napoví, zda budete hledat dva, jeden, nebo žádný reálný kořen.

Pro čtení grafu je užitečný vrcholový tvar. U funkce

doplníme na čtverec:

Vrchol paraboly je $(2,-1)$ a osa souměrnosti má rovnici $x=2$. Kontrolu úpravy proveďte roznásobením: $(x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3$. Oba zápisy proto popisují stejnou funkci.

V interaktivním grafu nejprve označte vrchol, potom osu $x=2$. Bod $(0,3)$ má podle souměrnosti zrcadlový bod $(4,3)$. Průsečíky $(1,0)$ a $(3,0)$ jsou také souměrné podle téže osy. Taková konstrukce poskytuje několik nezávislých kontrol grafu i výpočtu.

Diskriminant lze používat bez výpočtu samotných kořenů. Pro $2x^2-7x+3=0$ je

Je kladný a zároveň je $25$ dokonalý čtverec, takže rovnice má dva různé reálné racionální kořeny. Naproti tomu u $x^2-4x+1=0$ je $D=12$. Opět jde o dva různé reálné kořeny, avšak $12$ není dokonalý čtverec, takže při celočíselných koeficientech nejsou kořeny racionální.

U $9x^2-12x+4=0$ dostaneme $D=0$, tedy jediný opakovaný reálný kořen. Záporný diskriminant, například $D=-56$ u $3x^2-2x+5=0$, znamená nulový počet reálných kořenů. Nezaměňujte „žádný reálný kořen“ s tvrzením, že rovnice nemá žádné řešení v širším číselném oboru.

Při použití vzorce pracujte stále ve stejném pořadí. 1. Upravte rovnici na $ax^2+bx+c=0$. 2. Zapište $a,b,c$, včetně znamének. 3. Spočítejte $D=b^2-4ac$. 4. Dosaďte do vzorce. 5. Rozdělte $\pm$ na dva výsledky. 6. Kořeny ověřte dosazením.

Například u $2x^2+7x-3=0$ není možné rozložit výraz na součin činitelů s celočíselnými koeficienty: žádná celočíselná dvojice s součinem $-6$ nemá součet $7$. Vzorec však stále funguje:

Výsledek s $\sqrt{73}$ je přesný. Desetinné aproximace používejte tehdy, když je potřebujete například k zakreslení průsečíků do grafu.

Vyřešme $x^2-4x-4=0$. Máme $a=1$, $b=-4$, $c=-4$ a

Proto čekáme dva reálné kořeny. Kvadratický vzorec dává

Přibližně jde o $x\approx-0{,}83$ a $x\approx4{,}83$. Algebraická kontrola spočívá v dosazení každé přesné hodnoty do původní rovnice; vzorec byl odvozen právě pro hodnoty, které rovnici splňují.

Pro grafickou kontrolu upravte funkci:

Vrchol $(2,-8)$ leží pod osou $x$ a parabola je otevřená vzhůru. Musí tedy osu $x$ protnout dvakrát. Přibližné průsečíky odpovídají oběma vypočteným kořenům.

Použijte tuto textovou myšlenkovou mapu:

Rovnice obsahuje $x^2$? → převeďte ji na tvar „něco $=0$“.
Je levá strana snadno rozložitelná na součin? → ano: použijte vlastnost nulového součinu.
Je vidět tvar $(x+p)^2=q$? → ano: odmocněte a nezapomeňte na $\pm$.
Není ani jedna cesta pohodlná? → určete $a,b,c$, spočítejte diskriminant a použijte kvadratický vzorec.

Na každé větvi proveďte kontrolu. Algebraická kontrola znamená dosadit kořen do původní rovnice. Grafická kontrola znamená porovnat počet kořenů s průsečíky paraboly a osy $x$. Jestliže vyšel $D<0$, graf nemá mít žádný průsečík s osou $x$; jestliže $D=0$, má mít jediný dotyk. Pokud se algebra a graf rozcházejí, vraťte se zejména ke znaménkům u $b$, $c$ a členu $-4ac$.

Je dobré rozlišovat tři související zápisy. Funkce $f(x)=ax^2+bx+c$ přiřazuje každému $x$ hodnotu $y$. Rovnice $ax^2+bx+c=0$ hledá taková $x$, pro něž je funkční hodnota nulová. Grafické průsečíky se zapisují jako body $(x,0)$, zatímco kořeny se zapisují jen jako čísla $x$.

Například pro $f(x)=x^2-2x-2$ jsou kořeny

Odpovídající průsečíky grafu s osou $x$ jsou

Při zakreslování lze použít jejich desetinné aproximace, ale přesné tvary zachovávají úplnou informaci. Pro průsečík s osou $y$ naopak dosazujete $x=0$; zde vyjde $f(0)=-2$, tedy bod $(0,-2)$.

Diskriminant lze využít i tehdy, když neznáte jeden koeficient. U rovnice

je $a=2$, $b=8$, a proto

Pro dva různé reálné kořeny požadujeme $D>0$: $64-8c>0$, tedy $c<8$. Pro jeden dvojnásobný kořen požadujeme $D=0$, tedy $c=8$. Pro žádný reálný kořen požadujeme $D<0$, tedy $c>8$.

Tento postup nemusí hledat samotné kořeny. V interaktivním grafu měňte hodnotu $c$: tím se mění výška absolutního členu a sledujte, zda se parabola s osou $x$ protne dvakrát, dotkne se jí, nebo ji mine. Výpočet diskriminantu předpovídá přesně tyto tři možnosti.

Nejčastější chyba vznikne ještě před vzorcem: žák přečte koeficienty z rovnice, která není v obecném tvaru. Například z $(x-3)(x+2)=6$ nelze vzít $c=-6$. Nejprve roznásobte a upravte:

Teprve nyní jsou $a=1$, $b=-1$, $c=-12$, takže

Druhou chybou je zápis $-b$ bez závorek: při $b=-1$ platí $-b=-(-1)=1$. Třetí chybou je vynechání jedné větve $\pm$.

Praktická kontrola: máte-li $D>0$, musí vzorec po použití plus i minus dát dvě různé reálné hodnoty. Když vyjde jediný výsledek, zkontrolujte, zda jste nezahodili znaménko nebo zda ve skutečnosti neplatí $D=0$.

Uvažujte rovnici

Nejprve určete diskriminant:

Jelikož $D<0$, rovnice nemá reálné kořeny. Není nutné pokračovat kvadratickým vzorcem, pokud hledáme pouze reálná řešení. Kdybyste do vzorce dosadili, narazili byste na $\sqrt{-16}$, což není reálné číslo.

Grafické vysvětlení dostaneme doplněním na čtverec:

Čtverec reálného čísla je nezáporný, takže $(x-2)^2+4$ je vždy alespoň $4$. Funkční hodnota tedy nikdy nemůže být nula. Parabola má vrchol $(2,4)$, je otevřená vzhůru a celá leží nad osou $x$. Algebraický závěr i interaktivní graf se proto navzájem potvrzují.

Odpovězte nejprve bez nahlížení a potom ověřte řešení.

1. Jaká podmínka platí pro $a$ v $ax^2+bx+c=0$? $a\ne0$.
2. Kolik reálných kořenů předpovídá $D>0$? Dva různé.
3. Co znamená $D=0$ v grafu? Jeden průsečík, resp. dotyk paraboly s osou $x$.
4. Jaký je první krok u $x^2=27-6x$? Převést na $x^2+6x-27=0$.
5. Proč má $(x+2)^2=43$ dvě větve? Protože $x+2=\pm\sqrt{43}$.
6. Co kontrolujete po výpočtu kořenů? Dosazení do původní rovnice a shodu s počtem průsečíků grafu.

Shrnutí volby metody: nejprve upravte na nulu, pak hledejte snadný rozklad nebo tvar čtverce; v ostatních případech použijte diskriminant a kvadratický vzorec.